문과적 사고와 이과적 사고는 한 끗 차이

비즈니스에서 필수적인 가설 사고

수학의 큰 틀을 이해하기 위해 미리 알아 둬야 하는 것이 있다. 그것은 바로 ‘수학적 발상은 문과적 발상과 한 끗 차이’라는 점이다. ‘비즈니스적 발상과 한 끗 차이’라고도 할 수 있다. 지금까지 살면서 골치 아픈 문제에 직면한 경험을 떠올려 보자. 학생이라면 동아리나 아르바이트 장소에서 있었던 일도 좋다. 문제를 파악하고 정리하여 해결하기 위해 두뇌에 땀이 날 정도로 머리를 짜냈을 것이다. 제한된 정보에서 가설(임시 답안)을 도출한다거나, 표나 그림으로 정보를 정리한다거나, 복잡한 문제를 단순하게 분해하여 논의가 쉽게 진행되도록 한다거나. 지엽적인 부분에서 눈을 돌려 전체를 봤더니 새로운 사실을 발견한 경험도 있을 것이다. 수학의 근본에도 이런 문과적, 비즈니스적 발상과 똑같은 발상이 존재한다. 단지 수학에서는 말 대신 수식으로 사고를 이어 나간다는 점이 다를 뿐이다.

인간 사회에도 자연계에도 수많은 미지의 존재가 있다. 하지만 모른다고 해서 생각하기를 그만둔다면 문명의 발전은 이루어지지 않을 것이다. 모르는 게 있을 때는 가설을 세워 생각을 이어 나가야 한다. 이럴 때 문과 출신 사업가라면 어떻게 할까? 전략 컨설팅업계에는 ‘가설 사고’라는 말이 있다. 새로운 사업을 시작할 때 수중에 있는 한정된 정보만 가지고 가설을 세워 이야기를 전개하는 사고법을 말한다. 예를 들어 어떤 자동차 회사의 판매가 타사에 비해 부진하다고 하자. 그러면 가격이 지나치게 비싸다, 딜러 같은 판매 경로가 비효율적이다, 광고가 부족하다… 등등 가설을 세워 대응책을 검토할 것이다. 이런 사고법은 수학에서도 찾아볼 수 있는데, 그것이 바로 대수학이다.

통계학으로 거짓말을 간파하라

빅데이터 시대를 살아가기 위한 수학

통계학은 조감(鳥瞰)하듯이 데이터를 관찰하여 특징을 파악하고 거기에서 지식을 얻는 학문이다. 고대 그리스에서부터 활발하게 연구가 이루어진 대수학이나 기하학과 달리 통계학의 역사는 비교적 짧다. 학문으로써 인식되기 시작한 것은 겨우 17세기부터다. 미적분학도 체계적인 학문으로 발전하기 시작한 것은 17세기 뉴턴, 라이프니츠에 의해서였으며, 이 두 분야는 사대천왕 중에서도 젊은 축에 속한다고 할 수 있다. 17세기경 유럽에서는 국가의 행정 기능이 진보하여 인구와 경제에 관한 데이터를 조직적으로 수집하고 분석하는 체제가 마련되었다. 하지만 방대한 데이터를 눈앞에 둔 관리들은 난감할 따름이었다. 산더미 같은 데이터를 바라보고만 있어서는 그 데이터가 결국 무엇을 말하는지 알 수 없었기 때문이다. 통계학은 이처럼 방대한 데이터의 특징을 파악하여 지식을 얻는 방법론을 확립하고자 하는 사회적 수요에 의해 탄생했다. 통계학은 크게 3가지 분야로 나눌 수 있다.

첫 번째는 방대한 데이터의 해석 방법을 체계화한 기술 통계학이다. 기술 통계학은 3가지 통계학 중 가장 먼저 등장한 것으로, 통계학 전체의 토대를 이룬다.

두 번째는 제한된 데이터로부터 전체 상황을 추측하는 추측 통계학이다. 추계 통계학이라고도 한다. 선거의 승패나 신약의 효과를 추측하기 위해 유권자 전체를 인터뷰하거나 전 세계 모든 환자를 대상으로 시험하는 것은 비현실적이다. 이럴 때 출구 조사나 임상 시험같이 일부를 조사해서 전체 상황을 추측하는 추측 통계학 기법이 요긴하게 쓰인다. 이처럼 추측 통계학은 현대 문명에 없어서는 안 되는 존재다.

세 번째는 AI 시대를 맞아 주목도가 높아지고 있는 베이즈 통계학이다. 빅데이터 시대라고도 불리는 요즘은 매일 새로운 데이터가 생겨난다. 베이즈 통계학의 최대 특징은 새로운 데이터를 받아들여 기존 데이터에 기반한 예측을 수정하는 ‘학습 기능’이다. 끊임없이 새로운 데이터가 생성되는 현대 사회에서 수요가 높아지고 있는 분야다.

기하학은 삼각형에서 시작한다

삼각형은 도형의 최소 단위

기하학은 형태를 연구하는 학문이지만, 형태가 있는 것뿐만 아니라 데이터같이 형태가 없는 것에도 널리 응용된다. 육교나 경사로 설계에 삼각함수를 활용한다고 설명했는데, 이것은 형태가 있는 것에 응용한 사례다. 육교나 경사로를 설계할 때는 경사면의 기울기(수평면으로부터 기울어진 정도)를 정하는 것이 중요하다. 그 기울기를 수치화해서 검토하기 위해 경사면을 삼각형의 빗변으로 간주하여 삼각함수로 나타낸다는 이야기였다. 또 형태가 없는 것에 응용한 예로, 직각삼각형에 관한 정리인 피타고라스 정리가 빅데이터 분석에 쓰인다는 이야기도 했다. 피타고라스 정리로 데이터 사이의 거리를 구해 데이터를 분류한다는 내용이었다. 공교롭게도 둘 다 삼각형에 관한 이야기였는데, 이들만 그런게 아니라 원래 기하학에서는 삼각형이 모든 발상의 기초가 된다.

왜 삼각형이 중요할까? 이는 삼각형이 여러 가지 도형의 기본이기 때문이다. 평면 위에 도형을 그릴 때 적당한 두 점을 골라서 연결하면 선분이 된다. 여기에 점 하나를 더 찍어서 원래 있던 두 점과 연결하면 삼각형이 나타난다. 즉, 삼각형은 도형의 최소 단위라고 할 수 있다. 최소 단위인 삼각형을 깊이 이해하면 다양한 형태를 이해할 수 있다. 그 예로 평면 도형의 내각을 살펴보자. 삼각형의 내각을 모두 더하면 180°가 된다. 그러면 사각형, 오각형, 육각형의 내각의 합은 얼마일까? 참고로 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형 등을 통틀어 다각형이라고 한다. 따라서 이것은 다각형의 내각의 합을 구하는 문제가 된다.

‘왜 수학을 배우는가’라는 물음에 답을 제시

“읽은 노력이 피가 되고 살이 되었음을…”

저자는 이 책을 집필하면서 특별히 애쓴 부분이 있다면, 왜 수학이 필요한지, 왜 그렇게 접근해야 하는지, 자신에게 또는 사회에 어떤 도움이 되는지 알기 쉽게 설명하여 ‘학습 동기를 유발하는 것’이었다. 왜냐면 현대 수학 교육에서 가장 부족한 것이 바로 동기부여이기 때문이다. 중고등학교 교과서에 나오는 수학은 인간의 욕구와는 동떨어진 고상한 학문처럼 꾸며져 있다. 하지만 이 책에서 수없이 봐 왔듯이 수학이 발전해 온 배경에는 사회의 여러 문제를 어떻게든 해결하고자 하는 인간의 욕구가 있었다. ‘필요는 발명의 어머니’라는 말도 있듯이 수학의 각 분야는 그것을 필요로 하는 사람이 있었기에 탄생했다.

수학에 대한 동기부여가 제대로 안 된 상태에서 갑자기 전문용어나 계산 방법을 가르치면 어렵고 재미없다는 반응이 나올 수밖에 없다. 원래 수학을 좋아하는 학생은 알아서 공부하겠지만, 그렇지 않은 학생은 시험 때문에 억지로 공부하고 사회에 나가서도 수학이라면 진저리를 친다. 그래서 이 책에서는 수학을 배우는 의의를 몸소 느낄 수 있도록 각 분야의 유용성이나 사회적 필요성, 실제 응용 사례 등을 소개하고 있다.